已知函数f(x)=log2(a-2x)+x-2,若f(x)存在零点,则实数a的取值范围是(  )A. (-∞,-4]∪[4,+∞)B. [1,+∞)C. [2,+∞)D. [4,+∞)

问题描述:

已知函数f(x)=log2(a-2x)+x-2,若f(x)存在零点,则实数a的取值范围是(  )
A. (-∞,-4]∪[4,+∞)
B. [1,+∞)
C. [2,+∞)
D. [4,+∞)

若f(x)存在零点,
则方程log2(a-2x)=2-x有根
即22-x=a-2x有根,
令2x=t(t>0)
则原方程等价于

4
t
=a-t有正根
即t2-at+4=0有正根,
根据根与系数的关系t1t2=4>0,
即若方程有正根,必有两正根,
故有
t1+t2=a>0
a2−16≥0

∴a≥4.
故选D
答案解析:根据函数零点与对应方程根之间的关系,我们可将f(x)存在零点转化为方程log2(a-2x)=2-x有根,结合对数方程和指数方程的解法,我们可将他转化为一个二次方程根的存在性总是,再根据二次方程根的个数与△的关系及韦达定理,我们易构造一个关于a的不等式,解不等式即可求出实数a的取值范围.
考试点:函数零点的判定定理.
知识点:本题考查的知识点是函数零点的判定定理,其中根据指数方程和对数方程的解法,将函数对应的方程转化为一个二次方程是解答的关键.