设sinA是sinB.cosB的等差中项,sinC是sinB.cosB的等比中项,求证.cos4C-4cos4A=3

问题描述:

设sinA是sinB.cosB的等差中项,sinC是sinB.cosB的等比中项,求证.cos4C-4cos4A=3

证明:
∵sinA是sinB.cosB的等差中项
∴2sinA=sinB+cosB ①
∵sinC是sinB.cosB的等比中项
∴sin^2C=sinBcosB ②
①式平方,第②式代入①式
4sin^2A=1+2sin^2C
2-2cos2A=1+1-cos2C
2cos2A=cos2C
两边同时平方,得
4cos^2(2A)=cos^2(2C)
2(cos4A+1)=1/2(cos4C+1)
4cos4A+4=cos4C+1
∴cos4C-4cos4A=3

由题意得:2sinA=sinB+cosB ①sin²C=sinB*cosB ②①²-2×②得:4sin²A-2sin²C=1则:4sin²A-4sin²C=1-2sin²C2(1-cos2A)-2(1-cos2C)=cos2Ccos2C=2cos2A由倍角公式:cos4C=2cos...