已知三角形ABC的三边为a,b,c,所对角为A,B.C,G为三角形ABC重心,且a*向量GA+根号3*b*向量GB+根号3*c*向量GC=0向量（1）求证：向量GA+向量GB+向量GC=0向量（2）求角A

1.
向量AB=a,向量AC=b
延长AG,BG,CG分别交BC边,CA边,AB边于E,F,D.而,G为△ABC的重心
向量BC=向量(AC-AB)=b-a
向量AE=向量(AB+1/2*BC)=(a+b)/2
向量AG+向量BG+向量CG=(a+b)/3+(b-2a)/3+(a-2b)/3=0
2.
G为三角形的重心，则有GA+GB+GC=0 (向量0)
∴GA=-GB-GC
把这个结果代入题设等式,可得
a(-GB-GC)+bGB+(c√3/3)GC=0
整理可得
(b-a)GB+[(c√3/3)-a]GC=0
∵这两个向量 GB, GC不共线,
∴b-a=0且(c√3)/3-a=0
∴a=b=c/√3
不妨就设c=√3, a=b=1
由余弦定理可得
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=(1+3-1)/(2√3)
=(√3)/2
即cosA=(√3)/2
∴A=30º

(1)取BC中点为M,
则向量GB+GC=2GM
∵G是三角形ABC重心
∴GA=-2GM
∴向量GA+向量GB+向量GC
=-2GM+2GM=0向量
（2）
∵a*向量GA+√3*b*向量GB+√3*c*向量GC=0向量
两边同时除以a:
∴*向量GA+√3*b/a*向量GB+√3*c/a*向量GC=0向量
∴向量GB+向量GC=√3*b/a*向量GB+√3*c/a*向量GC=-GA
∵GB,GC不共线
∴√3b/a=1,√3c/a=1
∴a=√3b=√3c ,b=c
根据余弦定理：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=(2b²-3b²)/(2b²)
=-1/2
∵A为三角形内角
∴A=120º
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