已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．
问题描述：
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．
（1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的长．
答
知识点：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．
（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°．∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．∴CE=CF．∴DE=AF．而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°...
答案解析：（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；
（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=
AC，则CE=1 2
CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB-BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE．1 2
考试点：勾股定理；直角三角形全等的判定．
知识点：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．