已知椭圆x216+y24=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x-2）与曲线E交于不同的两点M、N，当AM•AN≥68时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．
问题描述：
已知椭圆
+x2 16
=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．y2 4
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
（x-2）与曲线E交于不同的两点M、N，当
k
•
AM
≥68时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．
AN
答
（Ⅰ）依题意得：A（-4，0），B（4，0）
∴曲线E的方程为y2=16x．-------（2分）
（Ⅱ）由
得：kx2-（4k+16）x+4k=0
y＝
(x−2)
k
y2＝16x
由
△＝(4k+16)2−16k2＞0 k＞0
解得：k＞0----------（4分）
设设M（x1，y1），N（x2，y2），则：
x1+x2=
，x1x2=44k+16 k
∴
•
AM
=（x1+4，y1）（x2+4，y2）=（x1+4）（x2+4）+y1y2
AN
=（k+1）x1x2+（4-2k）（x1+x2）+16+4k=
+4≥68----------（6分）64 k
∴0＜k≤1，
∴θ∈（0，
]----------（8分）π 4
答案解析：（Ⅰ）依题意可求A，B进而可求抛物线E的方程
（Ⅱ）联立方程
得：kx2-（4k+16）x+4k=0，根据方程有两个不等的根，结合韦达定理可得k的范围，进而可求θ的范围
y＝
(x−2)
k
y2＝16x
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线方程的相交的处理中，要注意方程的根与系数的关系的应用．