设双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为______.
问题描述:
设双曲线
−x2 a2
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为______. y2 b2
答
∵点P在双曲线的右支上,且||PF1|=4|PF2|,
∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,∴|PF2|=
,|PF1|=2a 3
.8a 3
则
+8a 3
≥2c,∴e≤2a 3
.5 3
故此双曲线离心率的最大值为
.5 3
故答案为
.5 3
答案解析:利用已知条件和双曲线的定义即可得到|PF1|,|PF2|,再利用|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,e=
即可得出.c a
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出.