设双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为______.

问题描述:

设双曲线

x2
a2
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为______.

∵点P在双曲线的右支上,且||PF1|=4|PF2|,
∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,∴|PF2|=

2a
3
|PF1|=
8a
3

8a
3
+
2a
3
≥2c
,∴e≤
5
3

故此双曲线离心率的最大值为
5
3

故答案为
5
3

答案解析:利用已知条件和双曲线的定义即可得到|PF1|,|PF2|,再利用|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,e=
c
a
即可得出.
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:熟练掌握双曲线的定义、三角形的三边关系、离心率计算公式即可得出.