F1.F2是椭圆x^/4+y^2=1的左右焦点.点P在椭圆上运动,求PF1*PF2的最大值和最小值
问题描述：
F1.F2是椭圆x^/4+y^2=1的左右焦点.点P在椭圆上运动,求PF1*PF2的最大值和最小值
答
由题意可知，a=2 b=1 c=根号3
所以F1（－√3 ，0）F2（√3 ，0）
设P（X，Y）∴pF1（X+√3,y) pF2（X-√3,y)
PF1*PF2=(X+√3)（X-√3)+y^2
∵y^2=1-x^/4
∴
PF1*PF2=(X+√3)（X-√3)+1-x^/4=3/4X^2-2
∵-2≤X ≤2∴-2≤3/4X^2-2≤1
所以最大值为1，最小值为-2
答
由方程知 a^2=4,b^2=1,c^2=3,设PF1=r1,PF2=r2,由第二定义,
r1=d1*e=(a^2/c+x)e=a+ex,r2=d2*e=(a^2/c-x)e=a-ex,
所以 r1r2=a^2-e^2x^2=4-3/4x^2.
设 x/2=cosθ,y=sinθ,则r1r2=4-3/4*4(cosθ)^2=4-3(cosθ)^2,
当(cosθ)^2=0时,r1r2=4(最大值),
当(cosθ)^2=1时,r1r2=1(最小值).