已知f(0)=1,f(2)=4,f '(2)=2,求∫ x f ' '(2x)dx,上限1,下限0.需过程,谢谢!
问题描述：
已知f(0)=1,f(2)=4,f '(2)=2,求∫ x f ' '(2x)dx,上限1,下限0.
需过程,谢谢!
答
∫xf"(2x)dx
=(1/2)∫xf"(x)d2x
=(1/2)∫xdf'(2x)
=(1/2)xf'(2x)-(1/2)∫f'(2x)dx
=(1/2)xf'(2x)-(1/4)∫f'(2x)d2x
=(1/2)xf'(2x)-(1/4)f(2x)+C
x=1,(1/2)xf'(2x)-(1/4)f(2x)=(1/2)*1*f'(2)-(1/4)*f(2)=1-1=0
x=0,(1/2)xf'(2x)-(1/4)f(2x)=(1/2)*0*f'(0)-(1/4)*f(0)=0-1/4=-1/4
所以定积分=0-(-1/4)=1/4