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已知数列11×3，13×5，15×7，…1(2n−1)(2n+1)，设其前n项和为Sn．（1）求出S1，S2，S3，S4；（2）猜想前n项和Sn并证明．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 00:09:36
问题描述：

已知数列

1
1×3
，
1
3×5
，
1
5×7
，…
1
(2n−1)(2n+1)
，设其前n项和为Sn．
（1）求出S1，S2，S3，S4；
（2）猜想前n项和Sn并证明．

答

（1）S1＝

1
3
，S2＝
1
3
+
1
3×5
=
2
5
，S3=
2
5
+
1
5×7
=
3
7
，S4＝
3
7
+
1
7×9
=
4
9
．
（2）由（1）猜想Sn＝
n
2n+1
．
证明：∵
1
(2n−1)(2n+1)
＝
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)，
∴Sn=
1
2
[(1−
1
3
)+(
1
3
−
1
5
)+…+(
1
2n−1
−
1
2n+1
)]=
1
2
(1−
1
2n+1
)=
n
2n+1
．
答案解析：（1）直接计算即可得出S1，S2，S3，S4；
（2）由（1）猜想Sn＝
n
2n+1
．由
1
(2n−1)(2n+1)
＝
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)，利用“裂项求和”即可证明．
考试点：数列的求和；数列的函数特性．

知识点：本题考查了“计算--猜想--证明”的方法、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于基础题．

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