有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.

问题描述:

有一圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.

设圆的圆心为C(a,b),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
∵直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6),∴点A(3,6)在圆上,且AC⊥l,
可得(3-a)2+(6-b)2=r2,…①
由直线l的斜率为

4
3
,可得
b−6
a−3
4
3
=−1
…②
又∵点B(5,2)在圆上,可得(5-a)2+(2-b)2=r2,…③
∴联解①②③,可得a=5、b=
9
2
、r=
5
2

因此所求圆的方程为(x-5)2+(y-
9
2
2=
25
4