正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(  ) A.35 B.45 C.34 D.55

问题描述:

正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(  )
A.

3
5

B.
4
5

C.
3
4

D.
5
5

如图,连接B1D
∵D是A1C1的中点,△A1B1C1是正三角形
∴B1D⊥A1C1
∵平面AC1⊥平面A1B1C1,平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1
∴B1D⊥平面AC1
过A点作AG⊥CD,则由B1D⊥平面AC1,得AG⊥B1D
由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC,
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角,
由已知,不妨令棱长为2,则AD=

5
=CD,
由等面积法得AG=
AC×AA1
CD
=
4
5
5

所以直线AD与面DCB1的正弦值为
4
5

故选B.