如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为______.
问题描述:
如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为______.
答
如图,连接B1D易证B1D⊥平面AC1,过A点作AG⊥CD,
则由B1D⊥平面AC1,得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC,
于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角,
由已知,不妨令棱长为2,则可得AD=
=CD,
5
由等面积法算得AG=
=AC×AA 1
CD
4
5
5
所以直线AD与面DCB1的正弦值为
;4 5
故答案为
.4 5
答案解析:如图,先证出B1D⊥平面AC1,过A点作AG⊥CD,证AG⊥平面B1DC,可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角,求其正弦即可.
考试点:直线与平面所成的角.
知识点:考查正棱柱的性质以及线面角的求法.考查空间想象能力以及点线面的位置关系