已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（　　） A.y2=-4x B.y2=4x C.x2=4y D.x2=-4y

分类: 作业答案 • 2021-12-19 22:53:07

问题描述：

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（　　）
A. y²=-4x
B. y²=4x
C. x²=4y
D. x²=-4y

答

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因为直线的斜率为1，所以

y1−y2

x1−x2

=1，
所以有y₁+y₂=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以抛物线的标准方程为y²=4x．
故选B．