如图二次函数y=-mx2+4m图象的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B,C在x轴上,A,D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的区域内. (1)求二次函数的解析式. (2)设点A的坐标为(x,
问题描述:
如图二次函数y=-mx2+4m图象的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B,C在x轴上,A,D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的区域内.
(1)求二次函数的解析式.
(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.
答
(1)∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),
∴4m=2,
即m=
,1 2
∴抛物线的解析式为:y=-
x2+2;1 2
(2)∵A点在x轴的负方向上坐标为(x,y),四边形ABCD为矩形,BC在x轴上,
∴AD∥x轴,
又因为抛物线关于y轴对称,
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称.
所以AD的长为-2x,AB长为y,
所以周长p=2y-4x=2(-
x2+2)-4x=-(x+2)2+8.1 2
∵A在抛物线上,且ABCD组成矩形,
∴x<2,
∵四边形ABCD为矩形,
∴y>0,
即x>-2.
所以p=-(x+2)2+8=-x2-4x+4,其中-2<x<0.