椭圆焦点在x轴,离心率为32,直线y=1-x与椭圆交于M,N两点,满足OM⊥ON,求椭圆方程.
问题描述:
椭圆焦点在x轴,离心率为
,直线y=1-x与椭圆交于M,N两点,满足OM⊥ON,求椭圆方程.
3
2
答
设椭圆方程
+x2 a2
=1(a>b>0),y2 b2
∵e=
,∴a2=4b2,即a=2b.
3
2
∴椭圆方程为
+x2 4b2
=1.y2 b2
把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0.
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则
x1+x2=
,x1x2=8 5
(4-4b2).1 5
∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=
(1-4b2).1 5
由于OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.
解得b2=
,a2=5 8
.5 2
∴椭圆方程为
x2+2 5
y2=1.8 5