已知F1、F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形,若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是_.

问题描述:

已知F1、F2是双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形,若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是______.

双曲线恰好平分正三角形的另两边,
顶点就在Y轴上坐标是(0,

3
c)或(0,-
3
c)
那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点(
c
2
3
2
c)
在双曲线上代入方程
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1
联立 b2=c2-a2求得e4-8e2+4=0
求得e=
3
+1 
故答案为:
3
+1