α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
问题描述：
α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值.
答
∵一元二次方程x2-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α,β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a,α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-2a-10
=4（a-4分之3）²-4分之49 ；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-4分之3）²≥（4分之49）²；
∴4（a-4分之3）²-4分之49≥8；
则（α-1）²+（β-1）²的最小值为8．=4a²-2a-10
=4（a-4分之3）²-4分之49
这两步有问题不好意思,错了,应该是
4a^2-6a-10
=4(a^2-3a/2+9/16)-9/4-10
=4(a-3/4)^2-49/4