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已知等比数列{an}中，a1=1/3，公比q=1/3．（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=1-an2（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:16:35
问题描述：

已知等比数列{an}中，a1=

1
3
，公比q=
1
3
．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
1-an
2

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

答

证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=

1
3
，q=
1
3

∴an=
1
3
×(
1
3
)n-1=
1
3n
，
Sn=
1
3
(1- 
1
3n
)
1-
1
3
=
1-
1
3n
2

又∵
1-an
2
=
1-
1
3n
2
=Sn
∴Sn=
1-an
2

（II）∵an=
1
3n

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-log33+（-2log33）+…+（-nlog33）
=-（1+2+…+n）
=-
n(n+1)
2

∴数列{bn}的通项公式为：bn=-
n(n+1)
2

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