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用二项式定理证明：（1）2n+2•3n+5n-4（n∈N）能被25整除；（2）（2/3）n-1＜2/n+1（n∈N，且n≥3）．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 20:12:37

问题描述：

用二项式定理证明：
（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除；
（2）（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．

答

（1）2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4×6ⁿ+5n-4=4×（1+5）ⁿ+5n-4
=4×[1+

C

1n

×5+

C

2n

×5²+…+

C

5n

×5ⁿ]+5n-4=25n+

C

2n

×5²+…+

C

5n

×5ⁿ]，显然能被25整除．
（2）∵(

3

2

)n−1=(1+

1

2

)n−1=1+（n-1）×

1

2

+

C

2n−1

×(

1

2

)2+…+(

1

2

)n−1＞1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
∴（

2

3

）^n-1＜

2

n+1

（n∈N^*，且n≥3）．