如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°. (1)求证:BD⊥DC; (2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.

问题描述:

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠ADC=120°.

(1)求证:BD⊥DC;
(2)若AB=4,求梯形ABCD的面积.

(1)证明:∵AD∥BC,∠ADC=120°,
∴∠C=60°.
又∵AB=DC=AD,
∴∠ABC=∠C=60°,∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°,
∴∠BDC=90°,BD⊥DC.
(2)过D作DE⊥BC于点E,
在Rt△DEC中,
∵∠C=60°,AB=DC=4,

DE
DC
=sin∠C=sin60°,
∴DE=2
3

在Rt△BDC中,
DC
BC
=sin30°,BC=2DC=8,
∴S梯形=
1
2
(AD+BC)•DE=12
3