数学设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)d

问题描述:

数学设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)d
设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)dx

变换u=2x-t,整理得
2x∫(x~2x)f(u)du-∫(x~2x)uf(u)du=1/2arctan(x^2)
求导得
2∫(x~2x)f(u)du-xf(x)=x/(1+x^4)
令x=1,得
∫(1~2)f(u)du=3/4
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其中,∫(x~2x)f(u)du的导数是2f(2x)-f(x),∫(x~2x)uf(u)du的导数是4xf(2x)-xf(x)