已知向量a=（sinx,1）,向量b=（cosx,-1/2）

1问：
向量a⊥向量b
sinxcosx-1/2=0
1/2sin2x-1/2=0
sin2x=1
2x=π/2+2kπ,k是整数
x=π/4+kπ,k是整数
sinx=√2/2,cosx=√2/2
或sinx=-√2/2,cosx=-√2/2
向量a+向量b
=(√2,1/2)
或=(-√2,1/2)
∴|a+b|=√(2+1/4)=3/2
2问：
向量a+向量b
=(sinx+cosx,1/2)
|向量a+向量b|
=√[(sinx+cosx)²+1/4]
=√(5/4+sin2x)
a向量·b向量
=sinxcosx-1/2
k倍的（a向量+b向量）的绝对值≥3+2a向量·b向量
k√(5/4+sin2x)≥3+2(sinxcosx-1/2)
k√(5/4+sin2x)≥3+sin2x-1
k√(5/4+sin2x)≥2+sin2x
x∈[0,π/2]
2x∈[0,π]
0≤sin2x≤1
∴k≥0
∴k²(5/4+sin2x)≥(2+sin2x)²
k²≥(2+sin2x)²/(5/4+sin2x)
设t=sin2x,t∈[0,1]
g(t)=(2+t)²/(5/4+t)
g'(t)=(t²+5/2t+1)/(5/4+t)²
∵t>0
∴t²+5/2t+1>1>0
∴g(t)是增函数
∴g(t)最大值=g(1)=3²/(5/4+1)=4
∴k²≥4
k≥2
实数k的取值范围:k≥2
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