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在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为1/12．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 19:19:59
问题描述：

在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为

1
12
．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

答

如图所示，设切点A（x0，y0），
由y′=2x，得过点A的切线方程为
y-y0=2x0（x-x0），即y=2x0x-x02．
令y=0，得x=

x0
2
，即C（
x0
2
，0）．
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．
S曲边三角形AOB=∫x00x2dx=
1
3
x3|x00=
1
3
x03，
S△ABC=
1
2
|BC|•|AB|=
1
2
（x0-
x0
2
）•x02=
1
4
x03．
∴S=
1
3
x03-
1
4
x03=
1
12
x03=
1
12
．
∴x0=1，从而切点A的坐标为（1，1），切线方程为y=2x-1．

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