若方阵A满足方程A平方-2A+3I=0,则A,A-3I都可逆,并求它们的逆矩阵,如何证明?
问题描述：
若方阵A满足方程A平方-2A+3I=0,则A,A-3I都可逆,并求它们的逆矩阵,如何证明?
答
A平方-2A+3I=0
A(A-2I)=-3I
A[(2I-A)/3]=I
由定义，可知
A可逆，且A的逆=(2I-A)/3
同理
(A-3I)(A+I)=-6I
(A-3I)[(A+I)/(-6)]=I
所以
A-3I可逆
且
它的逆=(A+I)/(-6)
答
证明:因为 A^2-2A+3I=0
所以 A(A-2I)=-3I
所以 A 可逆,且 A^-1 = (-1/3)(A-2I).
又由 A^2-2A+3I=0
得 A(A-3I)+A-3I+6I=0
所以 (A-3I)(A+I)=-6I
所以 A-3I 可逆,且 (A-3I)^-1 = (-1/6)(A+I).