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设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin(π3+B)sin(π3-B)+sin2B．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若AB•AC=12，a=27，求b，c（其中b＜c）．

分类: 作业答案 • 2021-11-12 22:54:45
问题描述：

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A=sin(

π
3
+B)sin(
π
3
-B)+sin2B．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若
AB
•
AC
=12，a=2
7
，求b，c（其中b＜c）．

答

（1）因为sin2A=（

3
2
cosB+
1
2
sinB)（
3
2
cosB-
1
2
sinB）+sin2B
=
3
4
cos2B-
1
4
sin2B+sin2B=
3
4

所以sinA=±
3
2
．又A为锐角，所以A=
π
3

（2）由
AB
•
AC
=12可得，cbcosA=12    ①
由（1）知A=
π
3
，所以cb=24   ②
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，将a=2
7
及①代入可得c2+b2=52③
③+②×2，得（c+b）2=100，所以c+b=10
因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的两根
解此方程并由c＞b知c=6，b=4

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