已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.
问题描述:
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.
答
由已知,可得f(1)=1-3a+2b=-1①,
又f'(x)=3x2-6ax+2b,
∴f'(1)=3-6a+2b=0,②
由①,②,解得a=
,b=−1 3
.1 2
故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.
由此得f'(x)=3x2-2x-1,根据二次函数的性质,当x<−
或x>1时,f'(x)>0;1 3
当−
<x<1,f'(x)<0.1 3
∴函数f(x) 在(−∞,−
)和(1,+∞)上单调递增,在(−1 3
,1)单调递减1 3
∴当x=−
时,f(x)取得极大值,f(x)极大值=1 3
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