已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.

问题描述:

已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a,b的值,并求出f(x)的极大值.

由已知,可得f(1)=1-3a+2b=-1①,
又f'(x)=3x2-6ax+2b,
∴f'(1)=3-6a+2b=0,②
由①,②,解得a=

1
3
,b=−
1
2

故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.
由此得f'(x)=3x2-2x-1,根据二次函数的性质,当x<−
1
3
或x>1时,f'(x)>0;
1
3
<x<1
,f'(x)<0.
∴函数f(x) 在(−∞,−
1
3
)和(1,+∞)
上单调递增,在(−
1
3
,1)
单调递减
∴当x=−
1
3
时,f(x)取得极大值,f(x)极大值
5
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