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已知：如图，△ABC中，AB=4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连接DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′． （1）当D为AB边的中点时，求S′：S的值； （2）若设AD=x，S′S=y，试求y与x之间的函数

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:45:04
问题描述：

已知：如图，△ABC中，AB=4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连接DC，设△ABC的面积为S，△DCE的面积为S′．

（1）当D为AB边的中点时，求S′：S的值；
（2）若设AD=x，

S′
S
=y，试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．

答

过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，
根据DE∥BC，可以得到

DE
BC
=
AN
AM
=
AD
AB
=
x
4
，
则DE=
x
4
•BC，AN=
x
4
•AM；
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
则DE=
1
2
BC，AN=
1
2
AM，而S△ABC=S=
1
2
•AM•BC，
∴S△DEC=S′=
1
2
•AN•DE，
∴S1：S的值是1：4；
（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴
AN
AM
=
DE
BC
=
AD
AB
=
x
4
，
∴
MN
AM
=
4-x
4
，
S′
S
=（
1
2
•MN•DE）：（
1
2
•AM•BC）=
DE
BC
•
MN
AM
=
x
4
•
4-x
4
=
4x-x2
16

即y=-
x2
16
+
1
4
x，（0＜x＜4）．

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