已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-根号3sin^2x+sinxcosx+1 （1）求函数f(x)的最大之和最小正周期
问题描述：
已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-根号3sin^2x+sinxcosx+1 （1）求函数f(x)的最大之和最小正周期
（2）设三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,B=π/4,且f（A/2）是函数f(x)的最大值,试求b的值
答
【1】
f(x)=2cosx[(1/2)sinx+(√3/2)cosx]-√3sin²x+sinxcosx+1
=cosxsinx+√3cos²x-√3sin²x+sinxcosx+1
=2sinxcosx+√3(cos²x-sin²x)+1
=sin(2x)+√3cos(2x)+1
=2[(1/2)sin(2x)+(√3/2)cos(2x)]+1
=2sin(2x+π/3)+1
所以,函数f(x)的最大值为3,最小正周期为π.
【2】
由正弦定理得
sinA/a=sinB/b
其中已知 a=4,B=π/4
由于 f(A/2)=3
则 sin(A+π/3)=1,A=π/6
所以
b=asinB/sinA
=4×(√2/2)/(1/2)=4√2