已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex． （1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围； （2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式； （3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．
问题描述：
已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．
答
当x=-m时，f（x）取得极大值me-m．（6分）
当m=2时，f'（x）=（x+2）2ex≥0，f（x）在R上为增函数，
所以f（x）无极大值．（7分）
当m＜2时，-m＞-2．列出下表：
当x=-2时，f（x）取得极大值（4-m）e-2，（9分）
所以g(m)=
（10分）
（3）当m=0时，f（x）=x2ex，令ϕ（x）=ex-1-x，则ϕ'（x）=ex-1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，ex-1-x≥0，所以ex≥1+x，
因此x2ex≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．（16分）
（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0．
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）
（2）f'（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex=（x+2）（x+m）ex，
令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，
当m＞2时，-m＜-2．列出下表：
| x | （-∞，-m） | -m | （-m，-2） | -2 | （-2，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | me-m | ↘ | （4-m）e-2 | ↗ |
当m=2时，f'（x）=（x+2）2ex≥0，f（x）在R上为增函数，
所以f（x）无极大值．（7分）
当m＜2时，-m＞-2．列出下表：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，-m） | -m | （-m，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | （4-m）e-2 | ↘ | me-m | ↗ |
所以g(m)=
|
（3）当m=0时，f（x）=x2ex，令ϕ（x）=ex-1-x，则ϕ'（x）=ex-1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，ex-1-x≥0，所以ex≥1+x，
因此x2ex≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．（16分）