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在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当S11+S22+…

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:34:13
问题描述：

在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当

S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大时，求n的值．

答

（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项
∴a12q4+2a12q6+a12q8=25   ①
a12q6=4   ②
解①②的a1=16，q=

1
2

∴an=16•(
1
2
)n-1=(
1
2
)n-5
故数列{an}的通项公式an=(
1
2
)n-5；
（2）∵bn=log2an=5-n
∴Sn=
(9-n)n
2

∴
Sn
n
=
9-n
2
=4-
1
2
（n-1），
数列{
Sn
n
}为等差数列，其通项为
Sn
n
=4-
1
2
（n-1），
当n=9时
Sn
n
=
9-n
2
=0
∴
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大时，n=8或9
故n=8或9．

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