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已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 _ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:35:03
问题描述：

已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 ___ ．

答

设μ=ax2-x+3．
则原函数f（x）=loga（ax2-x+3）是函数：y=logaμ，μ=ax2-x+3的复合函数，
①当a＞1时，因μ=logax在（0，+∞）上是增函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax2-x+3在[2，4]上是增函数，
∴

a×22-2+3＞0
1
2a
≤2

∴a＞1．
②当0＜a＜1时，因μ=logax在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，得
函数μ=ax2-x+3在[2，4]上是减函数，
∴
a×42-4+3＞0
1
2a
≥4

∴
1
16
＜a≤
1
8
．
综上所述：a∈(
1
16
，
1
8
]∪(1，+∞)
故答案为：(
1
16
，
1
8
]∪(1，+∞)．

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