已知二次函数f(x)=x2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]2+2f(x)的最小值为 _ .

问题描述:

已知二次函数f(x)=x2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,

3
2
)上有两个不同的零点,则
[f(x)]2+2
f(x)
的最小值为 ___ .

若函数g(x)=x2-x+k-2在(-1,

3
2
)上有两个不同的零点,
1-4(k-2)>0
g(-1)>0
g(
3
2
)>0
,而k∈Z,则k=2.
∴二次函数f(x)=x2-x+2,其值域f(x)∈[
7
4
,+∞),
[f(x)]2+2
f(x)
=f(x)+
2
f(x)
≥2
f(x)•
2
f(x)
=2
2

当且仅当f(x)=
2
f(x)
即f(x)=
2
时取等号,
2
∉[
7
4
,+∞),
∴当f(x)=
7
4
时,
[f(x)]2+2
f(x)
的最小值为
81
28

故答案为:
81
28