已知二次函数f(x)=x2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,3/2)上有两个不同的零点,则[f(x)]2+2f(x)的最小值为 _ .
问题描述:
已知二次函数f(x)=x2-x+k,k∈Z,若函数g(x)=f(x)-2在(-1,
)上有两个不同的零点,则3 2
的最小值为 ___ .
[f(x)]2+2 f(x)
答
若函数g(x)=x2-x+k-2在(-1,
)上有两个不同的零点,3 2
则
,而k∈Z,则k=2.
1-4(k-2)>0 g(-1)>0 g(
)>03 2
∴二次函数f(x)=x2-x+2,其值域f(x)∈[
,+∞),7 4
=f(x)+
[f(x)]2+2 f(x)
≥22 f(x)
=2
f(x)•
2 f(x)
,
2
当且仅当f(x)=
即f(x)=2 f(x)
时取等号,
2
而
∉[
2
,+∞),7 4
∴当f(x)=
时,7 4
的最小值为
[f(x)]2+2 f(x)
.81 28
故答案为:
81 28