已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若α∈(−π3，π2)，f(α+π3)＝1/3，求sin(2α+5π3)的值．
问题描述：
已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈(−
，π 3
)，f(α+π 2
)＝π 3
，求sin(2α+1 3
)的值． 5π 3
答
（Ⅰ）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，
∴T=2π，则ω＝
＝1．2π T
∴f（x）=sin（x+ϕ）．（2分）
∵f（x）是偶函数，
∴ϕ＝kπ+
(k∈Z)，又0≤ϕ≤π，π 2
∴ϕ＝
．π 2
则 f（x）=cosx．（5分）
（Ⅱ）由已知得cos(α+
)＝π 3
，∵α∈(−1 3
，π 3
)，π 2
∴α+
∈(0，π 3
)．5π 6
则sin(α+
)＝π 3
．（8分）2
2
3
∴sin(2α+
)＝−sin(2α+5π 3
)＝−2sin(α+2π 3
)cos(α+π 3
)＝−π 3
．（12分）4
2
9