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已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是_．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 18:08:22
问题描述：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是______．

答

∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2（z2-z-1）⇒3z2-2z-5≤0⇒-1≤z≤

5
3

令f（z）=xyz=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜−
1
3
，
∴f（z）在区间[-1，-
1
3
]单调递增，在[-
1
3
，1]单调递减，在[1，
5
3
]单调递增，
当z=-
1
3
时，xyz的值为
5
27
，当z=
5
3
时，xyz的值为
5
27
，
∴xyz的最大值为
5
27
．
故答案为：
5
27
．

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