在△ABC中,BC=6,AC=42,∠C=45°,在BC上有一动点P.过P作PD∥BA与AC相交于点D,连接AP,设BP=x,△APD的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围; (2)是否存在点P
问题描述:
在△ABC中,BC=6,AC=4
,∠C=45°,在BC上有一动点P.过P作PD∥BA与AC相交于点D,连接AP,设BP=x,△APD的面积为y.
2
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)是否存在点P,使△APD的面积最大?若存在,求出BP的长,并求出△APD面积的最大值.
答
,∠C=45°,得到此三角形为等腰直角三角形,
∴sin45°=
,即AE=ACsin45°=4
×
=4,
∴△ABC中BC边上的高为4,
设△CDP中PC边上的高为h,
则
=
⇒h=
(6−x)(0<x<6);
这样S1=2x,S3=
(6−x)•
(6−x)=
(6−x)2,
S2=12-2x-
(6−x)2=−
x2+2x;
即y=12-2x-
(6−x)2=−
x2+2x;
(2)S2=−
x2+2x=−
(x2−6x+9)+3=−
(x−3)2+3,
所以当x=3时,y有最大值3;此时BP=3,即P是BC的中点.
(1)过A作AE⊥BC,则AE为BC边上的高,
由Rt△AEC中,AC=4
2 |
∴sin45°=
AE |
AC |
2 |
| ||
2 |
∴△ABC中BC边上的高为4,
设△CDP中PC边上的高为h,
则
h |
4 |
6−x |
6 |
2 |
3 |
这样S1=2x,S3=
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
3 |
S2=12-2x-
1 |
3 |
1 |
3 |
即y=12-2x-
1 |
3 |
1 |
3 |
(2)S2=−
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
所以当x=3时,y有最大值3;此时BP=3,即P是BC的中点.