设双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为_.

问题描述:

设双曲线

x2
a2
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为______.

∵点P在双曲线的右支上,且||PF1|=4|PF2|,
∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,∴|PF2|=

2a
3
|PF1|=
8a
3

8a
3
+
2a
3
≥2c
,∴e≤
5
3

故此双曲线离心率的最大值为
5
3

故答案为
5
3