已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，Sn是它的前n项和．求证：Sn+1Sn≤3n+1/n．
问题描述：
已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，Sn是它的前n项和．求证：
≤Sn+1 Sn
． 3n+1 n
答
证明：由已知，得Sn=3n-1
要证明
≤Sn+1 Sn
等价于3n+1 n
≤
3n+1−1
3n−1
即3n≥2n+1（*）3n+1 n
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3k≥2k+1
那么当n=k+1时，3k+1=3×3k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3n≥2n+1
≤Sn+1 Sn
3n+1 n
（法二）当n=1时，左边=4，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=1+2n+…＞1+2n
所以
≤Sn+1 Sn
3n+1 n