已知Sn是等比数列{an}得前n项和,S2,S6,S4成等差数列,求数列{an}的公比q?
问题描述：
已知Sn是等比数列{an}得前n项和,S2,S6,S4成等差数列,求数列{an}的公比q?
答
由于数列{an}为等比数列,则an=a1*q^(n-1),
1）若q=1,S2=2a1,S6=6a1,S4=4a1
S2,S6,S4成等差数列,则S2+S4=2S6,从而a1=0,不符合等比数列条件,故舍去；
2）若q≠1,根据等比数列前n项和公式有Sn=a1*(1-q^n)/(1-q),
从而S2=a1*(1-q^2)/(1-q),S6=a1*(1-q^6)/(1-q),S4=a1*(1-q^4)/(1-q),
由于S2,S6,S4成等差数列,
故(S2+S4)=2S6,即a1*(1-q^2)/(1-q)+a1*(1-q^4)/(1-q)=a1*(1-q^6)/(1-q),
化简整理得：q^2*(q^2-1)(2q^2+1)=0
解得：q=0或q=±1
但当q=0或1时均不符合故舍去
从而q=-1