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已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速

分类: 作业答案 • 2021-12-17 20:53:12
问题描述：

已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的

2
7
；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．

答

（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，
因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：

8k+b＝10
b＝4
，
解得k=
3
4
，b=4，
因此BC所在直线的解析式是y=
3
4
x+4；
（2）过D作DE⊥OA，
则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，
则DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，
则四边形OPDC的面积为16，S△COD=8，
∴S△POD=8，
即
1
2
•t×7=8，
得t=
16
7
；
（3）分三种情况
①0＜t≤8，（P在OA上）
S三角形OPD=
7
2
t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此时AP=t-8，BP=18-t）
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值为
4
5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S三角形OPD=S三角形OPC-S三角形ODC
=
1
2
×4（22.4-0.8t）-8
=
184
5
-
8
5
t；
（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
则CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
设BP=x，则PA=10-x，
∴
x
5
＝
5
10−x
，
化简得x2-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．

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