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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量m=（cosA，cosB）、n=（2c+b，a），且m⊥n．（1）求角A的大小；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-17 20:19:04
问题描述：

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量

m
=（cosA，cosB）、
n
=（2c+b，a），且
m
⊥
n
．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

答

（1）∵

m
⊥
n
∴
m
•
n
=(cosA，cosB)•(2c+b，a)=(2c+b)cosA+acosB=0
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，
整理可得sinC+2sinCcosA=0．
∵0<C<π，sinC>0，
∴cosA=-
1
2
，
∴A=
2π
3
；
（2）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，
即16=b2+c2+bc≥3bc，
故bc≤
16
3
．
故△ABC的面积为S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
4
3
3
，
当且仅当b=c=
4
3
3
时，△ABC面积取得最大值
4
3
3
．

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