已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4. (1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数; (2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴

问题描述:

已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数;
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式.

(1)令y=0,得:x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0,
∴△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15,
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-15>0,
∴m<-

15
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此时y的图象与x轴有两个交点;
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0,
∴m=-
15
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此时,y的图象与x轴只有一个交点;
当△<0时,方程没有实数根,即-16m-15<0,
∴m>-
15
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此时y的图象与x轴没有交点.
∴当m<-
15
16
时,y的图象与x轴有两个交点;
当m=-
15
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时,y的图象与x轴只有一个交点;
当m>-
15
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时,y的图象与x轴没有交点.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4,
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-7,
∵x12+x22=5,
∴2m2-10m-7=5,
∴m2-5m-6=0,
解得:m1=6,m2=-1,
∵m<-
15
16

∴m=-1,
∴y=x2+3x+2,
令x=0,得y=2,
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2),
又y=x2+3x+2=(x+
3
2
2-
1
4

∴顶点M的坐标为(-
3
2
,-
1
4
),
设过C(0,2)与M(-
3
2
,-
1
4
)的直线解析式为y=kx+b,
解得k=
3
2
,b=2,
∴所求的解析式为y=
3
2
x+2.