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在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB＝2c−ab （Ⅰ）求sinC/sinA的值；（Ⅱ）若cosB＝1/4，b=2，求△ABC的面积S．

分类: 作业答案 • 2021-12-16 21:46:42

问题描述：

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

cosA−2cosC

cosB

＝

2c−a

b

（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若cosB＝

1

4

，b=2，求△ABC的面积S．

答

（Ⅰ）由正弦定理设

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝k
则

2c−a

b

=

2ksinC−ksinA

ksinB

=

2sinC−sinA

sinB

=

cosA−2cosC

cosB

整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）
又A+B+C=π
∴sinC=2sinA，即

sinC

sinA

=2
（Ⅱ）由余弦定理可知cosB=

a2+c2−b2

2ac

=

1

4

①
由（Ⅰ）可知

sinC

sinA

=

c

a

=2②
①②联立求得c=2，a=1
sinB=

1−

1

16

=

15

4

∴S=

1

2

acsinB=

15

4