如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D. (1)求点B的坐标; (2)当

问题描述:

如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点0、点A重合.连接CP,过点P作PD交AB于点D.

(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且

BD
BA
5
8
,求这时点P的坐标.

(1)过B作BQ⊥OA于Q,则∠COA=∠BAQ=60°,
在Rt△BQA中,QB=ABsin60°=2

3

QA=
AB2-BQ2
=
42-(2
3
)2
=2

∴OQ=OA-QA=7-2=5.
∴B(5,2
3
).
(2)①当OC=OP时,若点P在x正半轴上,
∵∠COA=60°,△OCP为等腰三角形,
∴△OCP是等边三角形.
∴OP=OC=CP=4.
∴P(4,0).
若点P在x负半轴上,
∵∠COA=60°,
∴∠COP=120°.
∴△OCP为顶角120°的等腰三角形.
∴OP=OC=4.
∴P(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0).
②当OC=CP时,由题意可得C的横坐标为:4×cos60°=2,
∴P点坐标为(4,0)
③当OP=CP时,
∵∠COA=60°,
∴△OPC是等边三角形,同①可得出P(4,0).
综上可得点P的坐标为(4,0)或(-4,0).
(3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OPC+∠DPA=120°.
又∵∠PDA+∠DPA=120°,
∴∠OPC=∠PDA.
∵∠COP=∠A=60°,
∴△COP∽△PAD.
OP
AD
=
OC
AP

BD
AB
=
5
8
,AB=4,
∴BD=
5
2

AD=
3
2

OP
3
2
=
4
7-OP

∴7OP-OP2=6得OP=1或6.
∴P点坐标为(1,0)或(6,0).