用导数知识,证明不等式,微积分
问题描述：
用导数知识,证明不等式,微积分
证明,当X>0时,有(1+X)㏑²(1+x)>X²
答
证明：令f(x)=(1+x)ln²(1+x)-x²,
则f(x)在(0,+∞)内连续可导
f'(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)-2x,令g(x)=f'(x),
则g'(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)+2/(1+x)-2=[2ln(1+x)+2-(2+2x)]/(1+x)=2[ln(1+x)-x]/(1+x),
令h(x)=ln(1+x)-x,
则当x∈(0,+∞)时,h'(x)=-x/(x+1)