椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2组成的三角形的周长为 4+23且∠F1BF2=2π3,则椭圆的方程是_.

问题描述:

椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2组成的三角形的周长为 4+2

3
且∠F1BF2=
3
,则椭圆的方程是______.

设长轴为2a,焦距为2c,
则在△F2OB中,由∠F2BO=

π
3
得:c=
3
2
a,
所以△F2OF1的周长为:2a+2c=4+2
3

∴a=2,c=
3
,∴b2=1
则椭圆的方程是
x2
4
+y2=1
x2+
y2
4
=1

故答案为:
x2
4
+y2=1
x2+
y2
4
=1