如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．（2）若cos∠C=4/5，DF=3，求⊙O的半径．

问题描述：

如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．

（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=

，DF=3，求⊙O的半径．

答

（1）证明：
（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对