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在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA+tanB+3tanAtanB=3，c=3．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-03 15:50:50
问题描述：

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA+tanB+

3
tanAtanB=
3
，c=3．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

答

（Ⅰ）∵tanA+tanB+

3
tanAtanB=
3
，
∴tan(A+B)=
tanA+tanB
1-tanAtanB
=
3
tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-
3
，
又∵C∈（0，π）∴C=
2π
3
…（5分）
（Ⅱ）由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2，得a2+b2-2ab×(-
1
2
)=9，即a2+b2+ab=9，∴9-ab=a2+b2≥2ab，ab≤3，
∴S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
ab≤
3
3
4
，
当且仅当a=b=
3
时，三角形ABC面积的最大值为
3
3
4
…（10分）

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