x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程a/2x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．
问题描述：
x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程
x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间． a 2
答
证明：由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根，
所以有
ax12+bx1+c＝0 −ax22+bx2+c＝0
设f（x）=
x2+bx+c，a 2
则f（x1）=
x12+bx1+c=-a 2
x12，a 2
f（x2）=
x22+bx2+c=a 2
x22，3a 2
∴f（x1）f（x2）=-
a2x12x223 4
由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，
所以f（x1）f（x2）＜0，
因此方程
x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．a 2