如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧AB上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠BCA

分类: 作业答案 • 2021-12-03 14:38:50

问题描述：

如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧

上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC．

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠BCA=

，⊙O的半径为

，求弦AB的长．

答

（1）证明：连接OA，OB，如图所示：

∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，

AP＝BP(已知)

OA＝OB(半径相等)

OP＝OP(公共边)

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
则BP为圆O的切线；
（2）延长线段BO，与圆O交于E点，连接AE，
∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，
∵∠AEB和∠ACB都对

，
∴∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB=tan∠ACB=

，
设AB=2x，则AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=2

，
根据勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2

）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
则AB=2x=4．

如图已知P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧AB上任意一点（不与A、B重合），连接OP、AB，AB与OP相交于点D，连接AC、BC． （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠BCA