求渐近线方程为3x±4y=0.焦点为椭圆x²/10+y²/5=1的一对顶点的双曲线的标准方程.
问题描述：
求渐近线方程为3x±4y=0.焦点为椭圆x²/10+y²/5=1的一对顶点的双曲线的标准方程.
答
双曲线渐近线方程为 y=±3/4*x ,
椭圆的顶点为 A1（-√10,0）,A2（√10,0）,B1（0,-√5）,B2（0,√5）.
（1）如果 A1、A2 为双曲线的焦点,则 c=√10,c^2=a^2+b^2=10 ,
又 b/a=3/4 ,因此解得 a^2=32/5,b^2=18/5 ,
因此双曲线方程为 x^2/(32/5)-y^2/(18/5)=1 .
（2）如果 B1、B2 为双曲线的焦点,则 c=√5 ,c^2=a^2+b^2=5 ,
又 a/b=3/4 ,因此解得 a^2=9/5,b^2=16/5 ,
因此双曲线方程为 y^2/(9/5)-x^2/(16/5)=1 .
综上可得,所求双曲线方程为 x^2/(32/5)-y^2/(18/5)=1 或 y^2/(9/5)-x^2/(16/5)=1 .